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연금의 현재가치 계산 공식

연금이란 일정 기간 동안 일정 금액을 받는 것을 말합니다. 미래에 받을 연금을 지금 한번에 받는다면 얼마나 받아야하는지를 계산하는 것이 연금의 현재가치 계산입니다.

1년 후에 $a$원, 2년 후에 $a$원, $ \cdots $, $n$년 후에 $a$원을 받고, 이자율은 연 $r$이라고 하면...

1년 후의 $a$원의 현재가치는 $ \dfrac{a}{1+r} $

2년 후의 $a$원의 현재가치는 $ \dfrac{a}{(1+r)^2} $

  $ \vdots $

$n$년 후의 $a$원의 현재가치는 $ \dfrac{a}{(1+r)^n} $

이 됩니다. 이를 다 더하면 되므로, 고등학교 때 배웠던 등비수열의 합의 공식으로 합을 구해보면

$$ \frac{\dfrac{a}{1+r} \left\{ 1- \left( \dfrac{1}{1+r} \right)^n  \right\} }{1- \dfrac{1}{1+r} } = \frac{a \left\{ (1+r)^n -1 \right\} }{ r (1+r)^n } $$

이 됩니다.

참고 1

등비수열 $ar^{n-1}$의 제1항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$은 다음과 같이 구합니다.

$$ S_n = a+ar+ar^2 + \cdots + ar^{n-1} = \frac{a(r^n - 1 )}{r-1} $$

참고

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Created on 2014-01-27 03:24